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j:v→m成为其临界点:λm?m.j(κ)＞λ.

    κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。

    伊卡洛斯基数：存在一个l(v_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于v_λ+2-l(v_λ+1)。

    完整性公理|3~|0

    |3：存在vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:vρ→vρ。

    |2：v存在一个非平凡基本嵌入到包含vλ的传递类m，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:v→m，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。

    |1：vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:vρ+1→vρ+1。

    |0：存在l(vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。

    也就是存在非自明初等嵌入j:l(vρ+1)→l(vρ+1)。

    以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理zf )中否定。

    莱因哈特基数：莱因哈特基数reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : v→v的v进入自身。

    这个定义明确地引用了适当的类j.

    在标准zf中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：v→v.还2有其他已知不一致的reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用zf的语言，连同公理说明j是的基本嵌入v，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如nbg或km，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为reinhardt基数的基数。

    这个基数公理在普通集合论的公理系统zfc中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的zfc的扩展，但是基数κ为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。

    这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， zfc的这样的扩张和主张reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者zfc的这样的扩张可以作为定理证明reinhardt基数的不存在)。

    为了能够记述在以下叙述的reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从l-结构m到l-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的l-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
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